A. TANIM
Herhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli
işlem denir.
A Ì B olmak üzere, A x A kümesinden B kümesine tanımlanan her
fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir.
| İşemler; + , – , :
, x, D ,o,¨
, *, «
gibi simgelerle gösterilir. |
B. İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ
A kümesinde D ve * işlemleri
tanımlanmış olsun. Buna göre, aşağıdaki 7
özelliği inceleyelim.
1. Kapalılık Özelliği
" a, b Î A
için aDb nin sonucu A kümesinin bir elemanı
ise, A kümesi Dişlemine
göre kapalıdır.
2. Değişme Özelliği
" a, b
Î A için, aD
b = bD a ise, Dişleminin
değişme özelliği vardır.
3. Birleşme Özelliği
" a, b, c Î
A için aD
(bD c) = (Da
b) Dc ise,D
işleminin birleşme özelliği vardır.
4. Birim (Etkisiz) Eleman Özelliği
" x Î
A için, xD e = e Dx
= x ise, e ye Dişleminin
etkisiz elemanı denir.
e Î A ise,D işlemine
göre A kümesi birim eleman özelliğine sahiptir.
5. Ters Eleman Özelliği
Dişleminin etkisiz elemanı e
olsun.
" a Î A için,
aD b = bD a = e
olacak biçimde bir b varsa b elemanına işlemine göre a nın
tersi denir.
a nın tersi b ise genellikle b = a–1 biçiminde gösterilir.
b Î A ise,D xişlemine
göre A kümesi ters eleman özelliğine sahiptir.
- Birim elemanın tersi
kendisine eşittir.
- Tersi kendisine eşit olan
her eleman birim eleman olmayabilir.
|
6. Dağılma Özelliği
" a, b, c Î
A için,
a * (bD c)
= (a * b)D(a*
c) ise,
* işlemininDişlemi
üzerinde soldan dağılma özelliği vardır.
(aD b) * c
= (a * c)D(b *
c) ise,
* işleminin işlemi üzerinde
sağdan dağılma özelliği vardır.
| *
işleminin D işlemi
üzerinde; hem soldan, hem de sağdan dağılma özelliği
varsa * işleminin D
işlemi üzerinde dağılma
özelliği vardır. |
7. Yutan Eleman Özelliği
" x Î A için,
xDi y = yDx = y
olacak biçimde bir y varsa y ye Diişleminin
yutan elemanı denir.
y Î
A ise,D işlemine göre A kümesi
yutan eleman özelliğine sahiptir.
|
Yutan elemanın tersi yoktur. Fakat
tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir.
|
C. TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER
A = {a, b, c, d} kümesinde *¶ işlemi
aşağıdaki tablo ile tanımlanmış olsun.
Ü b *
c nin sonucu bulunurken, başlangıç sütununda b, başlangıç
satırında c bulunur. Bunların kesiştiği bölgedeki
eleman, b *c nin sonucudur. Buna göre,
b * c = a dır.
Ü Başlangıç satırındaki
ve başlangıç sütunundaki elemanların sonuçlarının
görüldüğü kısımda A kümesine ait olmayan eleman
yoksa A kümesi * işlemine göre
kapalıdır.
Ü Sonuçlar kısmı, köşegene
göre simetrik ise, * işleminin değişme
özelliği vardır.
Ü Tablonun sonuçlar kısmında
başlangıç sütununun ve başlangıç satırının
görüldüğü sütunun ve satırın kesişimin deki
eleman etkisiz elemandır.
Ü Yutan eleman hangi elemanla işleme
girerse girsin, sonuç kendisine eşit olur. Bunun için, tablonun
sonuçlar kısmında aynı elemandan oluşan satır
ve sütun belirlenir. Bulunan yutan elemandır.
D. MATEMATİK SİSTEMLER
1. Tanım
A, boş olmayan bir küme olmak üzere, *
işlemi A da tanımlı olsun.
(A, *) ikilisine matematik sistem
denir.
2. Grup
A ¹ Æ olmak üzere,
A kümesinde tanımlı * işlemi
aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa, A kümesi*
işlemine göre bir gruptur.
- A, * işlemine göre kapalıdır.
- A üzerinde * işleminin birleşme
özelliği vardır.
- A üzerinde * işleminin birim
(etkisiz) elemanı vardır.
- A üzerinde *işlemine göre
her elemanın tersi vardır.
| A üzerinde tanımlı *
işleminin değişme özelliği de varsa (A,*)
sistemi değişmeli gruptur. |
3. Halka
A ¹
Æ olmak üzere, A
kümesi üzerinde tanımlı D ve *
işlemleri aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa
(A, D, *)
sistemi bir halkadır.
- (A, D) sistemi değişmeli gruptur.
- A kümesi*işlemine
göre kapalıdır.
- *işleminin
D işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
Ü *
işleminin değişme özelliği de varsa (A, D, *)
sistemi değişmeli halkadır.
Ü *
işleminin A kümesinde birim (etkisiz) elemanı da varsa
(A, D, *) sistemine birim halka denir.
